拋物線是指平面內與一定點和一定直線（定直線不經過定點）的距離相等的點的軌跡，其中定點叫拋物線的焦點，定直線叫拋物線的準線。它有許多表示方法，例如參數表示，標準方程表示等等。它在幾何光學和力學中有重要的用處。拋物線也是圓錐曲線的一種，即圓錐面與平行于某條母線的平面相截而得的曲線。拋物線在合適的坐標變換下，也可看成二次函數圖像。

簡介

在數學中，拋物線是一個平面曲線，它是鏡像對稱的，并且當定向大致為U形（如果不同的方向，它仍然是拋物線）。它適用于幾個表面上不同的數學描述中的任何一個，這些描述都可以被證明是完全相同的曲線。

拋物線的一個描述涉及一個點（焦點）和一條線（準線）。焦點并不在準線上。拋物線是該平面中與準線和焦點等距的點的軌跡。拋物線的另一個描述是作為圓錐截面，由圓錐形表面和平行于錐形母線的平面的交點形成。第三個描述是代數。

垂直于準線并通過焦點的線（即通過中間分解拋物線的線）被稱為“對稱軸”。與對稱軸相交的拋物線上的點被稱為“頂點”，并且是拋物線最鋒利彎曲的點。沿著對稱軸測量的頂點和焦點之間的距離是“焦距”?！爸本€”是拋物線的平行線，并通過焦點。拋物線可以向上，向下，向左，向右或向另一個任意方向打開。任何拋物線都可以重新定位并重新定位，以適應任何其他拋物線-也就是說，所有拋物線都是幾何相似的。

拋物線具有這樣的性質，如果它們由反射光的材料制成，則平行于拋物線的對稱軸行進并撞擊其凹面的光被反射到其焦點，而不管拋物線在哪里發生反射。相反，從焦點處的點源產生的光被反射成平行（“準直”）光束，使拋物線平行于對稱軸。聲音和其他形式的能量也會產生相同的效果。這種反射性質是拋物線的許多實際應用的基礎。

拋物線具有許多重要的應用，從拋物面天線或拋物線麥克風到汽車前照燈反射器到設計彈道導彈。它們經常用于物理，工程和許多其他領域。

發展歷程

Apollonius所著的八冊《圓錐曲線》（Conics）集其大成，可以說是古希臘解析幾何學一個登峰造極的精擘之作。今日大家熟知的ellipse（橢圓）、parabola（拋物線）、hyperbola（雙曲線）這些名詞，都是Apollonius所發明的。當時對于這種既簡樸又完美的曲線的研究，乃是純粹從幾何學的觀點，研討和圓密切相關的這種曲線；它們的幾何乃是圓的幾何的自然推廣，在當年這是一種純理念的探索，并不寄望也無從預期它們會真的在大自然的基本結構中扮演著重要的角色。

標準方程

四種方程

拋物線四種方程的異同

共同點：

①原點在拋物線上，離心率e均為1②對稱軸為坐標軸；

③準線與對稱軸垂直，垂足與焦點分別對稱于原點，它們與原點的距離都等于一次項系數的絕對值的1/4

不同點：

①對稱軸為x軸時，方程右端為±2px，方程的左端為y^2；對稱軸為y軸時，方程的右端為±2py，方程的左端為x^2；

②開口方向與x軸（或y軸）的正半軸相同時，焦點在x軸（y軸）的正半軸上，方程的右端取正號；開口方向與x（或y軸）的負半軸相同時，焦點在x軸（或y軸）的負半軸上，方程的右端取負號。

切線方程

拋物線y2=2px上一點（x0，y0）。

拋物線y2=2px上過焦點斜率為k的方程為：y=k（x-p/2）。

相關參數

（對于向右開口的拋物線y2=2px）

離心率：e=1（恒為定值，為拋物線上一點與準線的距離以及該點與焦點的距離比）

焦點:（p/2，0）

準線方程l:x=-p/2

頂點：（0，0）

定義域：對于拋物線y2=2px，p>0時，定義域為x≥0，p<0時，定義域為x≤0；對于拋物線x2=2py，定義域為R。

值域：對于拋物線y2=2px，值域為R，對于拋物線x2=2py，p>0時，值域為y≥0，p<0時，值域為y≤0。

術語解釋

準線、焦點：拋物線是平面內到一定點和到一條不過此點的定直線的距離相等的點的軌跡。這一定點叫做拋物線的焦點，定直線叫做拋物線的準線。

軸：拋物線是軸對稱圖形，它的對稱軸簡稱軸。

焦準距：焦點到準線的距離稱為焦準距，長度為p。

焦半徑：連接拋物線上任意一點與拋物線焦點得到的線段。對于拋物線y2=2px，P(x0，y0)，則|PF|=x0 p/2。

弦：拋物線的弦是連接拋物線上任意兩點的線段。

焦弦：拋物線的焦弦是經過拋物線焦點的弦。對于拋物線y2=2px，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|=x1 x2 p=2p/sin2θ（θ是AB的傾斜角）

正焦弦：拋物線的正焦弦是垂直于軸的焦弦，又叫通徑。通徑長為2p。

直徑：拋物線的直徑是拋物線一組平行弦中點的軌跡。這條直徑也叫這組平行弦的共軛直徑。所有的直徑都與軸平行，因此也可以定義拋物線的直徑為過拋物線上任意一點作軸的平行線（射線）

主要直徑：拋物線的主要直徑是拋物線的軸的一部分（在拋物線內部的射線）。

拋物線即把物體拋擲出去，落在遠處地面，這物體在空中經過的曲線。

幾何性質

有關切線、法線的幾何性質

（1）設拋物線上一點P的切線與準線相交于Q，F是拋物線的焦點，則PF⊥QF。且過P作PA垂直于準線，垂足為A，那么PQ平分∠APF。

（2）過拋物線上一點P作準線的垂線PA，則∠APF的平分線與拋物線切于P。〈為性質（1）第二部分的逆定理〉從這條性質可以得出過拋物線上一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。

（3）設拋物線上一點P（P不是頂點）的切線與法線分別交軸于A、B，則F為AB中點。這個性質可以推出拋物線的光學性質，即經焦點的光線經拋物線反射后的光線平行于拋物線的對稱軸。各種探照燈、汽車燈即利用拋物線（面）的這個性質，讓光源處在焦點處以發射出（準）平行光。

（4）設拋物線上除頂點外的點P的切線交軸于A，交頂點O的切線于B，則FB垂直平分PA，且FB與準線的交點M恰好是P在準線上的射影（即PM垂直于準線）。

（5）拋物線的三條切線所圍成的三角形，其外接圓經過焦點。即：若AB、AC、BC都是拋物線的切線，則ABCF四點共圓。

（6）過拋物線外一點P作拋物線的兩條切線，連接切點的弦與軸相交于A。又設P在軸上的射影為B，則O是AB中點。

（7）若拋物線與一個三角形的三條邊（所在直線）都相切，則準線通過該三角形的垂心。

有關弦的幾何性質

（8）焦點弦兩端的切線互相垂直，并且垂足在準線上。

（9）過焦點弦的端點A、B作準線的垂線，垂足分別為M、N。設A、B處的切線相交于P，則P是MN中點，并且以AB為直徑的圓切準線于P。

（10）若拋物線的兩條焦點弦相等，連接這兩條焦點弦的中點，則連線與軸垂直。

（11）拋物線的一條弦AB與軸相交于P（不一定是焦點F），過A、B分別作軸的垂線AM、BN，拋物線頂點為O，則OP2=AM*BN。

切線的尺規作圖

根據幾何性質（2）可以得到過拋物線上一點或拋物線外一點P作拋物線的切線的尺規作圖方法。

（1）P在拋物線上

①過P作準線的垂線，設A為垂足

②連接PF（F是焦點）

③作∠APF的平分線PQ

則根據性質（2），直線PQ為切線

（2）P在拋物線外

①連接PF

②以P為圓心，PF為半徑畫弧，弧與準線分別交于A、B

③過A、B分別作準線的垂線，垂線和拋物線分別交于M、N

④連接PM、PN，則PM、PN為所求切線（有兩條）

這是因為，若連接MF，則在△PAM和△PFM中

∵PA=PF（圓的定義），PM=PM（公共邊），MA=MF（拋物線的定義）

∴△PAM≌△PFM（SSS）

∴∠AMP=∠FMP（全等三角形的對應角相等）

∴MP平分∠AMF（角平分線的定義）

∴MP為切線（性質（2））

同理可證NP是另一條切線

解析式求法

以焦點在X軸上為例

知道P（x0，y0）

令所求為y1=2px

則有y01=2px0

故2p=y01/x0

故拋物線為y1=（y01/x0）x

現總結如下:

（1）知道拋物線過三個點（x1，y1）（x2，y2）（x3，y3）設拋物線方程為y=ax2 bx c，

將各個點的坐標代進去得到一個三元一次方程組，解得a，b，c的值即得解析式。

（2）知道拋物線的與x軸的兩個交點（x1，0），（x2，0），并知道拋物線過某一個點（m，n），

設拋物線的方程為y=a（x-x1）（x-x2），然后將點（m，n）代入去求得二次項系數a。

（3）知道對稱軸x=k，

設拋物線方程是y=a（x-k）2 b，再結合其它條件確定a，c的值。

（4）知道二次函數的最值為p，

設拋物線方程是y=a（x-k）2 p，a，k要根據其它條件確定。

擴展公式

拋物線：y = ax2 bx c（a≠0）

就是y等于ax的平方加上bx再加上c；

a > 0時開口向上；

a < 0時開口向下；

c = 0時拋物線經過原點；

b=0時拋物線對稱軸為y軸。

還有頂點式y=a（x-h）1 k

h是頂點坐標的x；

k是頂點坐標的y；

一般用于求最大值與最小值。

拋物線標準方程：y1=2px

它表示拋物線的焦點在x的正半軸上，焦點坐標為（p/2，0）準線方程為x=-p/2。

由于拋物線的焦點可在任意半軸，故共有標準方程y1=2px，y1=-2px，x1=2py，x1=-2py。

相關結論

A（x1，y1），B（x2，y2），A，B在拋物線y1=2px上，則有：

①直線AB過焦點時，x1x2=p2/4，y1y2 = -p2；

（當A，B在拋物線x2=2py上時，則有x1x2=-p2，y1y2=p2/4，要在直線過焦點時才能成立）

②焦點弦長：|AB|=x1 x2 P=2P/[（sinθ）2]；

③（1/|FA|） （1/|FB|）=2/P；（其中長的一條長度為P/（1-cosθ），短的一條長度為P/（1 cosθ））

④若OA垂直OB則AB過定點M（2P，0）；

⑤焦半徑：|FP|=x p/2（拋物線上一點P到焦點F的距離等于P到準線L的距離）；

⑥弦長公式：AB=√（1 k1）*│x1-x2│；

⑦△=b1-4ac；

⑴△=b1-4ac>0有兩個實數根；

⑵△=b1-4ac=0有兩個一樣的實數根；

⑶△=b1-4ac<0沒實數根。

⑧由拋物線焦點到其切線的垂線的距離是焦點到切點的距離與到頂點距離的比例中項；

⑨標準形式的拋物線在（x0，y0）點的切線是：yy0=p（x x0）

（注:圓錐曲線切線方程中x2=x*x0，y2=y*y0，x=（x x0）/2，y=（y y0）/2）