用符號“>”“<”表示大小關系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。

通常不等式中的數是實數，字母也代表實數，不等式的一般形式為F(x，y，……，z)≤G(x，y，……，z)（其中不等號也可以為中某一個），兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域，不等式既可以表達一個命題，也可以表示一個問題。

定義

一般地，用純粹的大于號“>”、小于號“<”表示大小關系的式子，叫作不等式。用“≠”表示不等關系的式子也是不等式。

其中，兩邊的解析式的公共定義域稱為不等式的定義域。

整式不等式：

整式不等式兩邊都是整式（即未知數不在分母上）。

一元一次不等式：含有一個未知數(即一元),并且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。如3-x>0

同理，二元一次不等式：含有兩個未知數(即二元),并且未知數的次數是1次(即一次)的不等式。

基本性質

①如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y；（對稱性）

②如果x>y，y>z；那么x>z；（傳遞性）

③如果x>y，而z為任意實數或整式，那么x z>y z；（加法原則，或叫同向不等式可加性）

④如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz；乘法原則）

⑤如果x>y，m>n，那么x m>y n；(充分不必要條件)

⑥如果x>y>0，m>n>0，那么xm>yn；

⑦如果x>y>0，xn>yn（n為正數)，xn<yn（n為負數）;

或者說，不等式的基本性質的另一種表達方式有：

①對稱性；

②傳遞性；

③加法單調性，即同向不等式可加性；

④乘法單調性；

⑤同向正值不等式可乘性；

⑥正值不等式可乘方；

⑦正值不等式可開方；

⑧倒數法則。

如果由不等式的基本性質出發，通過邏輯推理，可以論證大量的初等不等式。

另，不等式的特殊性質有以下三種：

①不等式性質1：不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數（或式子），不等號的方向不變；

②不等式性質2：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；

③不等式性質3：不等式的兩邊同時乘（或除以）同一個負數，不等號的方向變。總結：當兩個正數的積為定值時，它們的和有最小值；當兩個正數的和為定值時，它們的積有最大值。

常用定理

①不等式F（x）<G（x）與不等式G（x）>F（x）同解。

②如果不等式F（x）<G（x）的定義域被解析式H（x）的定義域所包含，那么不等式F（x）

③如果不等式F（x）定義域被解析式H（x）的定義域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)H（x）G（x）同解。

④不等式F（x）G（x）>0與不等式同解；不等式F（x）G（x）

定理口訣

解不等式的途徑，利用函數的性質。對指無理不等式，化為有理不等式。

高次向著低次代，步步轉化要等價。數形之間互轉化，幫助解答作用大。

證不等式的方法，實數性質威力大。求差與0比大小，作商和1爭高下。

直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。

還有重要不等式，以及數學歸納法。圖形函數來幫助，畫圖、建模、構造法。

注意事項

符號

不等式兩邊相加或相減同一個數或式子，不等號的方向不變。（移項要變號）

不等式兩邊相乘或相除同一個正數，不等號的方向不變。（相當系數化1，這是得正數才能使用）

不等式兩邊乘或除以同一個負數，不等號的方向改變。（÷或×1個負數的時候要變號）

解集

確定解集：

①比兩個值都大，就比大的還大（同大取大）；

②比兩個值都小，就比小的還小（同小取小）；

③比大的大，比小的小，無解（大大小小取不了）；

④比小的大，比大的小，有解在中間（小大大小取中間）。

三個或三個以上不等式組成的不等式組，可以類推。

數軸法

可以在數軸上確定解集：

把每個不等式的解集在數軸上表示出來，數軸上的點把數軸分成若干段，如果數軸的某一段上面表示解集的線的條數與不等式的個數一樣，那么這段就是不等式組的解集。有幾個就要幾個。

在確定一元二次不等式時，a>0，Δ=b^2-4ac>0時，不等式解集可用"大于取兩邊，小于取中間"求出。

證明方法

比較法

①作差比較法：根據a-b>0?a>b，欲證a>b，只需證a-b>0；

②作商比較法，簡稱商比法（作商與1比）。

綜合法

由因導果。證明不等式時，從已知的不等式及題設條件出發，運用不等式性質及適當變形推導出要證明的不等式綜合法又叫順推證法或因導果法。

分析法

執果索因。證明不等式時，從待證命題出發，尋找使其成立的充分條件。由于“分析法”證題書寫不是太方便，所以有時我們可以利用分析法尋找證題的途徑，然后用“綜合法”進行表述。

放縮法

將不等式一側適當的放大或縮小以達到證題目的，已知A

數學歸納法

證明與自然數n有關的不等式時，可用數學歸納法證之。

用數學歸納法證明不等式，要注意兩步一結論。

在證明第二步時，一般多用到比較法、放縮法和分析法。

反證法

證明不等式時，首先假設要證明的命題的反面成立，把它作為條件和其他條件結合在一起，利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個與命題的條件或已證明的定理或公認的簡單事實相矛盾的結論，以此說明原假設的結論不成立，從而肯定原命題的結論成立的方法稱為反證法。

換元法

換元的目的就是減少不等式中變量的個數，以使問題化難為易，化繁為簡，常用的換元有三角換元和代數換元。

構造法

通過構造函數、圖形、方程、數列、向量等來證明不等式。

重要不等式

柯西不等式

柯西不等式的幾種變形形式

1.設xi∈R,yi>0(i=1,2,…,n)則，當且僅當bi=l*ai (i=1,2,3,…,n)時取等號。

2.設ai，bi同號且不為零(i=1,2,…,n)，則，當且僅當b1=b2=…=bn時取等。

證法

柯西不等式的一般證法有以下幾種：

①Cauchy不等式的形式化寫法就是：記兩列數分別是ai, bi，則有 (∑ai^2) * (∑bi^2) ≥ (∑ai * bi)^2.我們令 f(x) = ∑(ai x * bi)^2 = (∑bi^2) * x^2 2 * (∑ai * bi) * x (∑ai^2)則我們知道恒有 f(x) ≥ 0.用二次函數無實根或只有一個實根的條件，就有 Δ = 4 * (∑ai * bi)^2 - 4 * (∑ai^2) * (∑bi^2) ≤ 0.于是移項得到結論。

②用向量來證。m=(a1,a2......an) n=(b1,b2......bn) mn=a1b1 a2b2 ...... anbn=(a1^ a2^ ...... an^)^1/2乘以(b1^ b2^ ...... bn^)^1/2乘以cosX．因為cosX小于等于1，所以：a1b1 a2b2 ...... anbn小于等于a1^ a2^ ...... an^)^1/2乘以(b1^ b2^ ...... bn^)^1/2，這就證明了不等式．柯西不等式的證明方法還有很多種，這里只取兩種較常用的證法。

柯西不等式的應用

柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據，我們在教學中應給予極大的重視。

例（巧拆常數）：設a、b、c為正數且各不相等。求證：2/(a b) 2/(b c) 2/(c a)>9/(a b c)

分析：∵a、b、c均為正數∴為證結論正確只需證：2(a b c)[1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]>9而2(a b c)=(a b) (a c) (c b)又9=(1 1 1)(1 1 1)

證明：2(a b c)[1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]=[(a b) (a c) (b c)][1/(a b) 1/(b c) 1/(c a)]≥(1 1 1)(1 1 1)=9 又a、b、c各不相等，故等號不能成立∴原不等式成立。

排序不等式

排序不等式又稱排序原理。

對于兩組有序的實數x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，設yi1，yi2，…，yin是后一組的任意一個排列，記S=x1yn x2yn-1 … xny1，M=x1yi1 x2yi2 … xnyin，L=x1y1 x2y2 … xnyn，那么恒有S≤M≤L。

當且僅當x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn時，等號成立。

即反序和≤亂序和≤順序和。

其他不等式

還有諸如以下的不等式：

琴生不等式

均值不等式

絕對值不等式

權方和不等式

赫爾德不等式

閔可夫斯基不等式

伯努利不等式

舒爾不等式

切比雪夫不等式

冪平均不等式

馬爾可夫不等式

切爾諾夫限

契比雪夫不等式

基本不等式

卡爾松不等式

幾何不等式

外森比克不等式

克拉克森不等式

yu不等式

施瓦爾茲不等式

三角不等式

erdos不等式

Milosevic不等式

等周不等式

芬斯拉不等式

嵌入不等式

楊氏不等式

車貝契夫不等式

典范類不等式

佩多不等式

四邊形不等式

肖剛不等式

Arakelov不等式

卡拉瑪特不等式

外森比克不等式

宮岡-丘不等式

柯西—施瓦茨不等式

Gronwall不等式

例題

例1

判斷下列命題的真假，并說明理由。

若a>b，c=d，則ac>bd(假，因為c，d符號不定)

若a c>c b，則a>b；(真)

若a>b且ab

若-ab；(真)

若|a|b2；(充要條件)

說明：本題要求學生完成一種規范的證明或解題過程，在完善解題規范的過程中完善自身邏輯思維的嚴密性。

例2

a，b∈R且a>b，比較a3-b3與ab2-a2b的大小。(≥)

說明：強調在最后一步中，說明等號取到的情況，為今后基本不等式求最值作思維準備。

例3

設a>b，n是偶數且n∈N*，試比較an bn與an-1b abn-1的大小。

說明：本例條件是a>b，與正值不等式乘方性質相比在于缺少了a，b為正值這一條件，為此我們必須對a，b的取值情況加以分類討論。因為a>b，可由三種情況(1)a>b≥0；(2)a≥0>b；(3)0>a>b。由此得到總有an bn>an-1b abn-1。通過本例可以開始滲透分類討論的數學思想。