簡介

霍奇猜想 (Hodge Conjecture)

在非奇異復射影代數簇上, 任一霍奇類是代數閉鏈類的有理線性組合。

背景

二十世紀的數學家們發現了研究復雜對象的形狀的強有力的辦法。

基本想法是問在怎樣的程度上，我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用，使得它可以用許多不同的方式來推廣；最終導致一些強有力的工具，使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是，在這一推廣中，程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下，必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言，對于所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來說，稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的（有理線性）組合。

問題

霍奇猜想是代數幾何的一個重大的懸而未決的問題。它是關于非奇異復代數簇的代數拓撲和它由定義子簇的多項式方程所表述的幾何的關聯的猜想。它在霍奇的著述的一個結果中出現，他在1930至1940年間通過包含額外的結構豐富了德拉姆上同調的表述，這種結構出現于代數簇的情況（但不僅限于這種情況）。

現狀

黎曼假設、龐加萊猜想、霍奇猜想、貝赫和斯維訥通－戴爾猜想、納維葉―斯托克斯方程、楊―米爾理論、P問題對NP問題被稱為21世紀七大數學難題。2000年5月，美國的克萊數學促進會為每道題懸賞百萬美元求解。目前，這一難題仍沒有被破解。

已知的情形

對于(1,1)類的霍奇猜想已經在霍奇本人提出本猜想前的1924年由 Lefschetz證明。換句話說，霍奇猜想對于H^2成立。實際上，這是霍奇提出其猜想的動機之一。

除此以外，還成立以下定理：如果霍奇猜想對于度數p的霍奇類成立，其中p<n，n是上述射影代數簇的維數，那么對于度數為2n-p的霍奇類，霍奇猜想也成立。

霍奇的想法

蘇格蘭數學家威廉·霍奇：怎么能知道哪些類的同源性在任何給定歧管，相當于一個代數周期？一個偉大的想法。 只是他不能證明。 我們有一個小的平滑的“空間”（在每個鄰域類似于歐幾里德空間，但在更大的規模上，“空間”是不同的），這是由一群方程描述，使得這個空間具有均勻的維度。 然后我們獲取基本的“拓撲”信息，并將其分解成更小的幾何部分（由數字對標記）。幾何部分內的理性東西被稱為“Hodge循環”。 每個較小的幾何部分是稱為代數循環的幾何部分的組合。 基本上我們有一個“樁”。我們仔細看看它，看看它是由許多“切碎的木材”組成。“切碎的木材”里面有“twigs”（霍奇循環）。霍奇猜想斷言，對于成堆的切碎的木材，樹枝實際上是被稱為原子（代數循環）的幾何部分的組合。

這個叫霍奇猜想的東東，用通俗的話說，就是“再好再復雜的一座宮殿，都可以由一堆積木壘成”。用文人的話說就是: 任何一個形狀的幾何圖形，不管它有多復雜(只要你能想得出來)，它都可以用一堆簡單的幾何圖形拼成。在實際工作中，我們無法在二維平面的紙上繪畫出來一種復雜的多維圖形，霍奇猜想就是把復雜的拓撲圖形分拆成為一個個構件，我們只要按照規則安裝就可以理解設計者的思想。霍奇猜想提出已經快80年了，至今有了第一個例子。