起源

黎曼猜想是波恩哈德·黎曼1859年提出的，這位數學家于1826年出生在當時屬于漢諾威王國的名叫布列斯倫茨的小鎮。1859年，黎曼被選為了柏林科學院的通信院士。作為對這一崇高榮譽的回報，他向柏林科學院提交了一篇題為“論小于給定數值的素數個數”的論文。這篇只有短短八頁的論文就是黎曼猜想的“誕生地”。

黎曼那篇論文所研究的是一個數學家們長期以來就很感興趣的問題，即素數的分布。素數又稱質數。質數是像2、3、5、7、11、13、17、19那樣大于1且除了1和自身以外不能被其他正整數整除的自然數。這些數在數論研究中有著極大的重要性，因為所有大于1的正整數都可以表示成它們的合。從某種意義上講，它們在數論中的地位類似于物理世界中用以構筑萬物的原子。質數的定義簡單得可以在中學甚至小學課上進行講授，但它們的分布卻奧妙得異乎尋常，數學家們付出了極大的心力，卻迄今仍未能徹底了解。

黎曼論文的一個重大的成果，就是發現了質數分布的奧秘完全蘊藏在一個特殊的函數之中，尤其是使那個函數取值為零的一系列特殊的點對質數分布的細致規律有著決定性的影響。那個函數如今被稱為黎曼ζ函數，那一系列特殊的點則被稱為黎曼ζ函數的非平凡零點。

有意思的是，黎曼那篇文章的成果雖然重大，文字卻極為簡練，甚至簡練得有些過分，因為它包括了很多“證明從略”的地方。而要命的是，“證明從略”原本是應該用來省略那些顯而易見的證明的，黎曼的論文卻并非如此，他那些“證明從略”的地方有些花費了后世數學家們幾十年的努力才得以補全，有些甚至直到今天仍是空白。但黎曼的論文在為數不少的“證明從略”之外，卻引人注目地包含了一個他明確承認了自己無法證明的命題，那個命題就是黎曼猜想。黎曼猜想自1859年“誕生”以來，已過了161個春秋，在這期間，它就像一座巍峨的山峰，吸引了無數數學家前去攀登，卻誰也沒能登頂。

有人統計過，在當今數學文獻中已有超過一千條數學命題以黎曼猜想(或其推廣形式)的成立為前提。如果黎曼猜想被證明，所有那些數學命題就全都可以榮升為定理；反之，如果黎曼猜想被否證，則那些數學命題中起碼有一部分將成為陪葬。

具體內容

黎曼觀察到，素數的頻率緊密相關于一個精心構造的所謂黎曼zeta函數ζ(s)的性態。黎曼假設斷言，方程ζ(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對于開始的1,500,000,000個解驗證過。

之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為這一表達式只適用于復平面上 s 的實部 Re(s) > 1 的區域 （否則級數不收斂）。黎曼找到了這一表達式的解析延拓（當然黎曼沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代復變函數論術語）。運用路徑積分，解析延拓后的黎曼ζ 函數可以表示為：

這里我們采用的是歷史文獻中的記號， 式中的積分實際是一個環繞正實軸進行的圍道積分（即從 ∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 ∞ ，而且離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨于 0)，按照現代數學記號應記成：

從這個關系式中不難發現，黎曼ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數） 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零。復平面上的這種使黎曼ζ 函數取值為零的點被稱為黎曼ζ 函數的零點。因此 s=-2n （n 為正整數）是黎曼ζ 函數的零點。這些零點分布有序、 性質簡單， 被稱為黎曼ζ 函數的平凡零點 (trivial zero)。除了這些平凡零點外，黎曼ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得復雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros)。

黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位于復平面上 Re(s)=1/2 的直線上，也即方程ζ(s)=0的解的實部都是1/2。

在黎曼猜想的研究中， 數學家們把復平面上 Re(s)=1/2 的直線稱為 critical line（臨界線）。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位于 critical line 上。