猜想陳述

給定一個(gè)整體域上的阿貝爾簇，猜想它的莫代爾群的秩等于它的L函數(shù)在1處的零點(diǎn)階數(shù)，且它的L函數(shù)在1處的泰勒展開(kāi)的首項(xiàng)系數(shù)與莫代爾群的有限部分大小、自由部分體積、所有素位的周期以及沙群有精確的等式關(guān)系。

前半部分通常稱為弱BSD猜想。BSD猜想是分圓域的類數(shù)公式的推廣。格羅斯提出了一個(gè)細(xì)化的BSD猜想。布洛克和加藤提出了更一般的對(duì)于motif的Bloch-Kato猜想。

已知結(jié)果

BSD猜想的陳述依賴于莫代爾定理：整體域上的阿貝爾簇的有理點(diǎn)形成一個(gè)有限生成交換群。精確的部分依賴于沙群的有限性猜想。

對(duì)于解析秩為0的情形，Coates，Wiles，Kolyvagin，Rubin，Skinner，Urban等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2以外均成立。

對(duì)于解析秩為1的情形，Gross，Zagier等人證明了弱BSD猜想，并且精確的BSD猜想在2和導(dǎo)子以外均成立。

猜想的推論

由BSD猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特等很多猜想。其中著名的是與同余數(shù)問(wèn)題的關(guān)系，從BSD猜想可以推出模8余5，6，7的無(wú)平方因子的正整數(shù)一定可以成為某個(gè)有理邊長(zhǎng)直角三角形的面積。